La varianza (S2) se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a la media, dividido todo por el número total de datos.
La varianza o varianza de un pequeño conjunto de datos se calcula casi de la misma forma que
Algebraicamente la varianza se expresa y se calcula mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo:
Hállese la varianza del conjunto: 2, 4, 6, 8, 10.
| X | | |
| 2 4 6 8 10 | -4 -2 0 +2 +4 | 16 4 0 4 16 |
Los pasos necesarios para calcular la varianza son los siguientes:
1. Calcular la media de los datos.
2. Restar la media de cada valor del conjunto.
3. Elevar al cuadrado cada una de estas desviaciones.
4. Sumar los cuadrados de las desviaciones; y,
5. Dividir para n.
Para datos presentados en una distribución de frecuencias, la fórmula de la varianza es la siguiente:
Obsérvese que la fórmula es más general que la anterior, porque la frecuencia de cada dato, en el caso de que ninguno se repite, es uno, f = 1. Por esta razón debemos considerar la f implícita cuando no se dé.
Ejemplo: Hállese la varianza del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 9
| X | f | fX | | | |
| 1 2 3 4 5 7 8 9 | 1 1 2 2 4 3 1 1 | 1 2 6 8 20 21 8 9 | -4 -3 -2 -1 0 2 3 4 | 16 9 4 1 0 4 9 16 | 16 9 8 2 0 12 9 16 |
| | n = 15 | åfX = 75 | | | |
Ejercicio:
Hállese la varianza del conjunto de datos anterior, sin agruparlos en una distribución de frecuencias.
Otra fórmula que suele emplearse en el cálculo de la varianza es:
Esta fórmula, algunas veces, es más fácil de utilizar que la anterior, ya que no se requiere calcular cada una de las desviaciones.
Ejemplo:
Hállese la varianza del siguiente conjunto de números: 2, 4, 6, 8, 10.
|
| X2 | |
| 2 4 6 8 10 | 4 16 36 64 100 | |
| åX = 30 | åX2 = 220 |
Cuando los datos se han organizado en una tabla de frecuencias, la fórmula para calcular la varianza es:
Ejemplo:
Hállese la varianza del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 8.
| X | f | f.x | f.x2 |
| 1 2 3 4 5 7 8 | 1 1 2 2 4 3 1 | 1 2 6 8 20 21 8 | 1 4 18 32 100 147 64 |
| | n = 14 | 66 | 366 |
La varianza es una medida de dispersión en la que hallamos el promedio de las desviaciones al cuadrado. Esto significa que, por ejemplo, para el caso de las notas de los estudiantes, la unidad de varianza es puntos2. Para superar esta inconveniencia y disponer de una medida de dispersión para los puntajes, que se exprese en puntos, se halla la raíz cuadrada de la varianza, llamada desviación estándar o desviación típica.
DESVIACIÓN ESTANDAR
Así, pues, la desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada positiva de la varianza:
Ejemplo:
Hállese la desviación estándar del siguiente conjunto de datos:
| X | f | f.X | f.X2 |
| 5 10 15 20 25 | 1 2 4 2 1 | 5 20 60 40 25 | 25 200 900 800 625 |
| | n = 10 | 150 | 2.550 |
No hay comentarios:
Publicar un comentario