CURVA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

Refiriéndonos a calificaciones de los alumnos, resulta frecuente tener que contestar preguntas tales como:

· ¿Cuántos alumnos tienen calificaciones iguales o menores que…?

· ¿Cuántos alumnos tienen calificaciones superiores a…?

En tales casos conviene ordenar las calificaciones en una tabla de frecuencias acumuladas, según se muestra en el siguiente ejemplo:

CALIFICACIONES X	f	Fa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 2 4 4 3 2 5 8 0 2 0	0 2 6 10 13 15 20 24 24 26 26

Supongamos que 26 alumnos realizan un examen (sobre 10 puntos), obteniendo las siguientes calificaciones:

n = 26

La variable X presenta los valores posibles de las calificaciones de (0 a 10 puntos). La columna f indica el número de estudiantes que tienen una calificación determinada (la calificación correspondiente de la primera columna).

La columna de Fa muestra el número de estudiantes que tienen una calificación “igual o menor que” la calificación correspondiente de la primera columna.

Ejemplo

15 alumnos tienen una calificación igual o menor que 5 puntos; igualmente podemos afirmar que 11 alumnos (el complemento de 15 a 26) tienen una calificación superior a 5 puntos.

Cuando los datos se han agrupado por intervalos de clase, la tabla de frecuencias acumuladas puede ser representada gráficamente tomando como abscisa los límites reales superiores de los intervalos de clase y como ordenadas longitudes proporcionales a las frecuencias acumuladas.

La gráfica de frecuencias acumuladas se llama ojiva

OJIVA

Representar gráficamente los siguientes valores:

INTERVALOS	f	Fa
90-99 100-109 110-119 120-129 130-139 140-149	3 14 16 11 4 2	3 17 33 44 48 50

n = 50

Distribución de las calificaciones

Esta ojiva indica el número de personas que registran una puntuación “igual o menor que” un cierto valor.

Ejemplo

48 alumnos obtuvieron un puntaje igual o inferior a 139.5 (observe el gráfico anterior); igualmente, podemos afirmar que 2 alumnos (el complemento de 48 a 50) alcanzaron un puntaje superior a 139.5.

CURVA DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS

La tabla de frecuencias relativas acumuladas correspondiente al ejercicio anterior es la siguiente:

INTERVALOS	f	Fa	Pa
90-99 100-109 110-119 120-129 130-139 140-149	3 14 16 11 4 2	3 17 33 44 48 50	6 34 66 88 96 100

n = 50

Gráficamente se representa de la siguiente manera los límites reales superiores de cada intervalo de clase se sitúan sobre el eje horizontal (eje x).

Los tantos por ciento se ubican siempre sobre el eje vertical (eje Y). Tales valores estarán comprendidos entre 0 y 100:

- Cada `punto del gráfico acumulativo asocia a los intervalos reales superiores de cada intervalo el tanto por ciento acumulado correspondiente

- La línea curva trazada por los puntos anteriores se prolonga un intervalo hasta alcanzar el eje X.

Las curvas correspondientes a las distribuciones acumulativas porcentuales tienen la forma de una S, razón por la cual se denominan curvas de la S

LECTURA DE LOS CENTILES A PARTIR DE LA CURVA ACUMULATIVA DE FRECUENCIAS RELATIVAS

LOS CENTILES, también conocidos como percentiles, son puntuaciones de la distribución que dejan por debajo de si un determinado tanto por ciento de los datos.

Ejemplo:

El centil 88, es la puntuación de la distribución tal que el 88 % de los datos están por debajo de él.

Si la curva acumulativa de frecuencias relativas se ha trazado con cuidado sobre papel milimetrado, se puede leer en ella el valor de cada centil, con gran precisión.

Con este fin, se traza una perpendicular al eje Y en el punto que corresponde (%) deseado, hasta cortar la curva. A partir de este punto, se traza la perpendicular al eje X.

El pie de esta perpendicular señala el valor correspondiente al centil deseado.

Ejemplo:

Utilizando el gráfico anterior, determinar los puntajes que corresponden a los centiles: 6, 35 y 66

C6 = 99.5 puntos

C35 = 109.5 puntos

C66 = 119.5 puntos

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas que se utilizan para indicar un valor que tiende a ser el más representativo del conjunto son:

· La media aritmética

· La mediana; y,

· La moda.

LA MEDIA ARITMÉTICA

LA MEDIA ARITMÉTICA

Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muéstrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos:

F Si trabajamos con la población, este indicador será µ;

F En el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será

Media aritmética (µ o ): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.

Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muéstrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética.

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Ejemplo

El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:

3,2	3,1	2,4	4,0	3,5
3,0	3,5	3,8	4,2	4,0

¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?

SOLUCIÓN

Aplicando la fórmula para datos no agrupados tenemos:

2,4
3
3,1
3,2
3,5
3,5
3,8
4
4
4,2
34,7

Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47.

Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media aritmética.

En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta variación notoria se debió a que la media aritmética es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos datos.

El 0,0 es una nota atípica comparada con las demás, que están ubicadas entre 3,0 y 4,2.

La media aritmética de un conjunto de datos no agrupados se calcula sumando los valores del conjunto y dividiendo esta suma para el número de dichos datos.

Utilizando la notación sigma, la media aritmética se expresa de la siguiente manera:

X = media aritmética

å= “suma de”

X = los datos del conjunto

n = el número total de datos del conjunto

Sin embargo, esta fórmula sirve para obtener la media aritmética de un pequeño conjunto de datos.

Ejemplo 2

La media aritmética de las calificaciones de estadística 9, 8 y 10 es:

Para un mayor número de datos, cuando uno o varios de tales datos se repiten más de una vez, resulta más práctico calcular la media aritmética utilizando la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Calcular la media aritmética del siguiente conjunto de datos:

8 - 2 - 3 - 4 - 7 - 2 - 5

8 - 6 - 7 - 6 - 5 - 5 - 4

6 - 5 - 4 - 3 - 3 - 2 - 3

6 - 5 - 4 - 5 - 7 - 6 - 4

La siguiente tabla ilustra los cálculos necesarios:

X

f

f.X

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 5 3 2

6 12 20 30 30 21 16

N = 28

åfx = 135

La fórmula para calcular la media supone que cada uno de los datos es de igual importancia. En términos generales, esto suele ser así, no obstante, hay excepciones:

Ejemplo:

Un profesor indica que recibirá dos exámenes mensuales, cada uno equivaldrá el 30% de la calificación total; y, un examen final que corresponderá al 40% restante. Si un alumno obtiene 80 en el primer examen, 90 en el segundo y 96 en el final, ¿cuál es su promedio?

Examen	Calificación X	Ponderación W	WX
1er. 2do. 3ro.	80 90 96	30 30 40	2.400 2.700 3.840
		åW = 100	åWX = 8940